בעיות כמותיות

שאלות מסוג "בעיות כמותיות" עוסקות במגוון נושאים מתמטיים בסיסיים כגון אחוזים, ממוצע, יחס, בעיות הספק, בעיות תנועה, שברים ועוד. על מנת לפתור בעיות אלו יש לקרוא היטב את השאלה, למצוא את הנתונים, להבין על מה אנו נשאלים ולתכנן את דרך הפתרון.

החישובים בעזרתם פותרים את השאלות לא צריכים להיות מסובכים, כך שניתן לפתור כל שאלה בזמן קצר יחסית. אין צורך להשתמש במחשבון או לזכור נוסחאות מורכבות.

חשוב לדעת שהמבחנים הכמותיים עוסקים במספרים, אך אינם בודקים רק ידע בחשבון. למעשה, גם במבחנים הללו ניתן להביא לידי ביטוי יכולות כגון דיוק, תשומת לב לפרטים, הספקי עבודה טובים ועוד, ולכן חשוב מאוד שמועמדים למשרות שונות יתכוננו אליהם כראוי, ולא רק מועמדים למשרות בעלות אופי מספרי.

אנו מודעים לכך שנבחנים רבים חווים חרדה והירתעות מחישובים ומספרים, ולכן תרגול של הנושאים השונים ייאפשר לכם להתיידד מחדש עם התחום, בפרט אם לא הזדמן לכם לתרגל נושאים כמותיים מזה שנים. אנו ממליצים לכם לתרגל בעיקר את לוח הכפל המצורף בסוף עמוד זה, כמו גם חילוק עם וללא שארית, אחוזים, ממוצעים וכו'.

את רוב בעיות התנועה ניתן לפתור ע"י הצבת נתונים בנוסחת התנועה, וחשוב לשים לב שאנו מציבים את הנתונים בצורה הנכונה. כלומר, יש לוודא שיחידות הזמן ויחידות המרחק בהן אנו משתמשים תהיינה אחידות.

נוסחת התנועה: מהירות * זמן = דרך

מהירות – המרחק שעובר אדם בזמן מסוים, לדוגמה, 60 קמ"ש (קילומטר לשעה). יחידות מהירות אפשריות: סנטימטר לדקה, מטר לשנייה וכו'. יחידת המהירות הנפוצה ביותר היא קמ"ש.

זמן – יחידות זמן אפשריות: שעות, דקות, שניות וכדומה.

מרחק – יחידות מרחק אפשריות: קילומטר (ק"מ), מטר (מ') סנטימטר (ס"מ) וכדומה.

אם נקבל נתונים על מהירותו של עצם מסוים, ועל משך הזמן שהוא היה בתנועה, נוכל לחשב מהו המרחק שהעצם עבר בסך הכול. לדוגמה:

רוכב אופניים היה בתנועה במשך 3 שעות ובכל שעה הוא עבר 10 קילומטרים, כלומר מהירותו 10 קילומטרים בשעה. נוכל לחשב כמה קילומטרים עבר רוכב האופניים ע"י נוסחת התנועה: מהירות * זמן = דרך. רוכב האופניים נע במהירות 10 קמ"ש, במשך 3 שעות: 10*3=30. רוכב האופניים עבר בסך הכל 30 קילומטרים.

נוסחאות הנובעות מנוסחת התנועה:
שימו לב שנוסחת התנועה היא משוואה ולכן נוכל לגזור ממנה נוסחאות נוספות ע"י בידוד אחד המשתנים:


לדוגמה:
מכונית נוסעת 90 ק"מ במשך 3 שעות במהירות קבועה. מה מהירות המכונית?
נציב בנוסחה: דרך/זמן=מהירות ונקבל 30=90/3. מכאן מהירות המכונית היא 30 קמ"ש.

יחידות זמן, מהירות ומרחק:

כאמור, בבואנו לפתור בעיות תנועה ע"י הצבה בנוסחאות התנועה, עלינו לוודא שיחידות הזמן, המרחק והמהירות אחידות. כלומר, אם נתונה לנו מהירות בקמ"ש (קילומטר לשעה), יחידת הזמן בה נשתמש כאשר נציב בנוסחת התנועה תהיה יחידת זמן של שעה. אם נצטרך להציב את הדרך שהעצם עבר על מנת למצוא את הזמן, נציב את יחידת המרחק קילומטר. לצורך כך, ייתכן שנצטרך להמיר יחידות זמן ומרחק.

המרת יחידות זמן שמומלץ לזכור:
דקה=60 שניות
שעה=60 דקות
שעה=3,600 שניות

המרת יחידות מרחק שמומלץ לזכור:
ס"מ=10 מ"מ
מטר=100 ס"מ
ק"מ=1,000 מטר

נוסחת ההספק – הספק * זמן = עבודה

הספק – מהירות ביצוע העבודה, כלומר, כמות העבודה שמספיקים ביחידת זמן אחת. לדוגמה: אם נגר בונה כיסא אחד במשך שעה, אזי ההספק שלו הוא כיסא אחד בשעה. אם הנגר בונה כיסא אחד בשעתיים, אזי ההספק שלו הוא חצי כיסא בשעה. הספק בנוסחת ההספק מקביל למהירות בנוסחת התנועה.

זמן – הזמן הדרוש לביצוע העבודה, כלומר, פרק הזמן שבו העבודה מתבצעת במלואה. אם נגר בונה גיסא אחד במשך שעתיים, אזי הזמן שבו מתבצעת העבודה הוא שעתיים. זמן בנוסחת ההספק מקביל לזמן בנוסחת התנועה.

עבודה – כמות העבודה שצריך להשלים, כלומר, המטלה שיש לבצע. אם נגר בונה כיסא אחד בשעתיים, אזי כמות העבודה היא כיסא אחד. עבודה בנוסחת ההספק מקבילה לדרך בנוסחת התנועה.

נוסחאות הנובעות מנוסחת ההספק:
שימו לב שנוסחת ההספק היא משוואה ולכן נוכל לגזור ממנה נוסחאות נוספות ע"י בידוד אחד המשתנים. אם עלינו למצוא את ההספק, נשתמש בנוסחה - עבודה חלקי זמן=הספק. לדוגמה, אם נגר בונה כיסא בשעתיים, אזי ההספק שלו הוא כיסא אחד חלקי 2 שעות=חצי כיסא בשעה.

מציאת ההספק:
בשאלות בהן עלינו למצוא את ההספק נפתור לפי הנוסחה:  
לדוגמה: אם נגר בונה 4 כיסאות במשך שעתיים, אזי ההספק שלו הוא 2 כיסאות לשעה.

מציאת כמות העבודה:

בשאלות בהן עלינו למצוא את ההספק נפתור לפי הנוסחה: הספק * זמן=עבודה
לדוגמה: עדי עובדת 12 משמרות בחודש. כמה משמרות היא עובדת ב-4 חודשים?
אנו מבינים מהשאלה שעדי עובדת 12 משמרות בחודש. נציב זאת בנוסחת ההספק ונקבל כי ב-4 חודשים עדי עובדת 48 משמרות. 12*4=48.

מציאת הזמן:
בשאלות בהן עלינו למצוא את הזמן נפתור לפי הנוסחה: 
לדוגמה: אביתר מרכיב 4 מדפים במשך שעה אחת. בכמה שעות ירכיב אביתר 60 מדפים?
נציב את כמות העבודה שיש לבצע - 60 מדפים, חלקי ההספק של אביתר - 4 מדפים בשעה, ונקבל את הזמן הדרוש לאביתר לצורך הרכבת 60 מדפים - 15 שעות. 60/4=15.

הספק משותף
ישנן שאלות בהן נתון לנו הספק של יותר מגורם אחד (אדם, כלי וכו'). לדוגמה, דני בונה 2 כיסאות בשעה, ודנה בונה 4 כיסאות בשעה. במצב כזה, אם שני הגורמים עובדים ביחד ויש להם מטרה משותפת, הספקם של שני הגורמים תמיד יהיה גדול יותר מהספקם של כל אחד בנפרד. לכן, ההספק של דנה ודני הוא 6 כיסאות בשעה. דוגמה נוספת, שני צינורות ממלאים בריכה, והספקו של כל צינור הוא בריכה אחת במשך שעתיים. לכן, הספקם של שני הצינורות כאשר הם עובדים יחד הוא בריכה אחת בשעה.

בעת עבודה של יותר מגורם אחד למען מטרה משותפת ההספק המשותף עולה, אך הזמן דווקא מתקצר. לדוגמה:
נתון לנו כי 2 צינורות ממלאים בריכה בשעתיים, אז 4 צינורות בעלי הספק זהה ימלאו בריכה במחצית מהזמן, כלומר שעה.

האחוז - %
השלם, בין אם הוא בריכה אחת או 20 אנשים וכדומה, מהווה 100%. כך לדוגמה כיתה של 20 תלמידים מהווה 100 אחוז וחצי כיתה, 10 תלמידים, מהווה 50%. היות והשלם יכול להיות 20 תלמידים או עוגה אחת, תמיד נבדוק מהו השלם ולאחר מכן נתייחס לאחוז מתוך השלם. אל האחוז מתוך השלם ניתן להתייחס כאל שבר עם מכנה 100.

חישוב אחוזים
השלם הוא 100 אחוז ו-1% מתוכו מהווה 1/100. לדוגמה, אם נרצה לתת טיפ של 10% מתוך חשבון על סך 100 שקלים, ניתן 10/100 (לאחר צמצום 1/10) מתוך השלם. כלומר, 10=100*1/10 (עשרה שקלים טיפ). אם החשבון היה על סך 250 שקלים, הנוסחה הייתה נראית כך 25=250*1/10 (25 שקלים טיפ).

כלל: כאשר נרצה לחשב גודל כלשהו של אחוז מהשלם, לדוגמא %x, נכפול את x ב- 1/100 ובשלם עצמו (למשל y), ונקבל את הגודל המבוקש מתוך השלם:

 


אחוזים גדולים מ- 100%

ניתן לחשב אחוזים גדולים מ-100%, והדרך לחישובם זהה לחישוב הרגיל. לדוגמה, קרן קונה נעליים ב- 50 שקלים ומוכרת אותם ב-200% מהמחיר שבו היא קונה את הנעליים, אז קרן מוכרת את הנעליים ב-100=50*(1/100)*200 שקלים. מעבר לחישוב האלגברי, נוכל להבין שאם 50 שקלים הם 100%, אז 200% הם 200%=100%+100%, כלומר 100=50+50.

אחוזים שמומלץ לזכור בעל-פה



מציאת השלם

קיימות שאלות אחוזים בהן אנו נדרשים למצוא את השלם על סמך נתונים על אחוז מסוים ממנו. לדוגמה, 30% מתוך לקוחותיה של חברת "רותי ביוטי" הם גברים. נתון לנו שלחנות זו ישנם 60 לקוחות גברים. כמה לקוחות (גברים ונשים) יש לחנות "רותי ביוטי"? בשאלות מסוג זה נשתמש בנוסחה הבאה:


דרך ההצבה:
אנו מחפשים את השלם ולכן נציב במקומו X. אחוז הגברים מתוך כלל לקוחות החנות נתון לנו והוא 30% לכן נציב זאת בצורת שבר(30/100). כמות הגברים, החלק הנתון, הוא 60, לכן המשוואה צריכה להיראות כך: 
נבודד את X ונקבל   לאחר צמצום השבר נקבל X = 200 שזהו סך כל הלקוחות(נשים וגברים) של חנות "רותי ביוטי".

הצבת 100 בתור שלם

קיימות שאלות אחוזים בהן לא נתונים לנו מספרים אלא אחוזים בלבד. ניתן לפתור שאלות אלה ע"י חישוב אלגברי, אך חישוב זה הוא ארוך ולעתים מסובך. אנו ממליצים לפתור שאלות אלה ע"י הצבת מספרים.

המספר הנוח ביותר להצבה הוא 100 מכיוון שכל אחוז מתוך 100 שווה בערכו לגודל האחוז. לדוגמה, 5% מתוך 100 הם 5, 10% מתוך 100 הם 10 וכן הלאה.

חישוב מהיר של 10%

ישנם אחוזים שקל מאוד לחשב מתוך השלם. לדוגמה, 10% (1/10) ניתנים לחישוב מהיר ע"י חילוק השלם ב-10. כך, לדוגמה, נדע מיד כי 10% מתוך 20 הם 2 (20/10), 10% מתוך 240 הם 24 (240/10) וכן הלאה. בדרך דומה, נוכל לחשב כמה הם 10% גם ממספרים שאינם מתחלקים ב-10. לדוגמה, 10% מתוך 55 הם 5.5 (55/10).

ע"י חישוב מהיר של 10% מתוך השלם נוכל בקלות גם למצוא אחוזים אחרים. כלומר, אם 10%*3 = 30% אז נוכל לדעת בקלות מה ערכם של 30% מ- 55. בדוגמה שלמעלה מצאנו ש- 10% מ- 55 הם 5.5. מכאן 30% מ- 55 הם 16.5=5.5*3.