שיעור מערכת משוואות

מבוא

השיעור "מערכת משוואות" מתבסס על השיעור "משוואה אחת". כל הכללים החלים על משוואה אחת חלים גם כאשר פותרים מערכת משוואות, ולכן תנאי מקדים לקריאת שיעור זה הוא קריאת שיעור משוואה אחת.

הגדרה

כאשר נתונה משוואה אחת עם שני נעלמים - נוכל לבודד אחד מהם ולהגדיר אותו בעזרת הנעלם האחר, אך לא נוכל להגיע לפתרון שכולל ערך מספרי של שני הנעלמים. לדוגמה: x=3+y. נוכל לבטא את ערכו של x על ידי y ולהיפך, אבל לא נוכל לדעת אם x שווה 3 או 8 או כל ערך מספרי אחר.

אם נרצה לדעת מה ערכם המספרי של x ו- y נצטרך נתון נוסף - משוואה שניה, שונה מהראשונה, שבה מופיעים אותם המשתנים (במקרה שלנו x ו-y). לכן, הנושא נקרא מערכת משוואות.

כדי לפתור את המשוואות נוכל להשתמש בשתי דרכים.

בידוד והצבה

בידוד אחד הנעלמים באחת המשוואות והצבתו במשוואה השנייה יתן משוואה אחת עם נעלם אחד (הנעלם אותו לא בודדנו), אותה אנו יודעים לפתור. לאחר שנמצא את ערכו של הנעלם אותו לא בודדנו, נציב אותו באחת המשוואות המקוריות, וכך שוב נקבל משוואה אחת בנעלם אחד ונוכל למצוא את ערכו של הנעלם הנוסף. לדוגמה: נתון x=3+y וגם 2x+11=3y. אנו רואים שבמשוואה הראשונה x כבר מבודד ושווה ל 3+y. לכן, נוכל להציב את x, אותו אנו יודעים לבטא בעזרת y, במשוואה השניה, וכך נקבל משוואה המכילה רק מספרים ואת המשתנה y. המשוואה תראה כך:
נפתח סוגריים ונקבל:

נחסר מהמשוואה 2y ובמקביל נסכום את האיברים 6 ו- 11 בצד שמאל של המשוואה, ונקבל: y=17. כלומר, מצאנו את ערכו המספרי של y. כעת, נוכל להציב את ערכו המספרי של y, כלומר 17, במשוואה הראשונה x=y+3 , ועל ידי כך למצוא את ערכו המספרי של x. נקבל:

וכך מצאנו גם את ערכו המספרי של x.

תרגול בידוד והצבה
הצב את הנתון המבודד במשוואה ומצא את ערכיהם של x ו-y:
בידוד והצבה מבחן מימד

חיבור / חיסור משוואות

חיבור או חיסור שתי המשוואות, בצורה של חיבור ארוך או חיסור ארוך, כך שמתקבלת משוואה אחת עם נעלם אחד. עלינו לסדר את המשוואות כך שהנעלמים והמספרים יופיעו באותו סדר בשתי המשוואות. לאחר מכן נרצה להגיע למצב בו לאחד המשתנים יש את אותו מקדם בשתי המשוואות, ואז אם למקדם זה יש את אותו הסימן בשתי המשוואות, נבצע חיסור בין המשוואות, ואם באחת המשוואות המקדם מופיע עם סימן מינוס ובשנייה המקדם מופיע עם סימן פלוס, נבצע חיבור בין המשוואות.
לדוגמה, נתונות המשוואות הבאות:

חיבור משוואות מבחן מימד

בפועל, סכמנו x עם (x-) כך שקיבלנו 0 והעלמנו את x מן המשוואה. במקביל, סכמנו y עם 5y וקיבלנו 6y וסכמנו 8 עם 16 כך שקיבלנו 24. כעת קיבלנו משוואה עם נעלם אחד שאם נחלק את שני צדדיה ב- 6 נקבל y=4. כעת, ממש כמו בשיטה הראשונה, נחזור ונציב את ערכו של y שמצאנו באחת המשוואות המקוריות, וכך נוכל למצוא את x. נציב y=4 במשוואה x+y=8 ונקבל: x+4=8 . על ידי חיסור 4 משני צידי המשוואה נקבל: x=4.

אם המשוואות הנתונות היו x+y=8 ו- x+5y=16, המקדם של x בשתי המשוואות זהה, כמו גם סימנו, ולכן נחסר את המשוואות זו מזו:
חיסור משוואות מבחן מימד

נחלק ב- 4 את שני אגפי המשוואה בתוצאה ונקבל y=2. נציב את y במשוואה x+y=8 ונקבל x+2=8 ומכאן x=6.

דגש: במידה ואין נעלם המופיע בשתי המשוואות עם אותו מקדם (בסימנים זהים או הפוכים), נוכל לבצע פעולות חשבוניות על אחת המשוואות על מנת להביא את המשוואות למצב כזה. כל עוד אנו מבצעים את הפעולות החשבוניות על שני צידי המשוואה, השוויון בין הצדדים נשמר ולכן אלו פעולות מותרות.

חיבור / חיסור משוואות

הבא את שתי המשוואות למצב שבו על ידי סכימה או חיסור של שתיהן נוכל "להיפטר" מאחד מהשתיים:

פתרונות בידוד והצבה

פתרונות